1  Reconhecendo Relações Funcionais
 

1.1 Noção Intuitiva:

Exemplo 1

Um professor muito louco entrou certo dia numa sala de aula e falou para sua turma :

- Grrrrrritem um núúúúúmero.

A cada número que o pessoal gritava, o Professor gritava outro número. Tudo isso em perfeita ordem, sendo que a aluna mais bonita da classe escrevia os números conforme podemos ver na tabela abaixo.

   

Número da Classe	Número do Professor
2	12
-5	5
7	17
14	24

A pergunta do professor era:

- Há alguma relação entre os números, tuuuuuurma ?

Você consegue ver alguma relação ????????

Como você deve ter percebido, há uma relação entre o “número da classe” e o “número do Professor”. A lei que rege essa relação pode ser escrita da seguinte forma:

 Número do Professor é igual ao Número da Classe mais dez .

Que tal economizar tempo ????  Chamamos de   y - Número do Professor
                                                            x - Número da classe

Dessa forma, a mesma lei pode ser escrita da seguinte forma

y = x + 10  -  essa é a lei
 

Exemplo 2
 

- No quadrado acima, chamaremos a medida do lado de l  e a soma dos seus lados, que é o perímetro, chamaremos de p.

- Dessa forma, a lei que rege a relação dessas duas grandezas matemáticas pode ser escrita como:

                    p = 4.l

 É claro que a medida do perímetro do quadrado depende do tamanho da medida do lado. Vamos ver isso ?
 
 
 

Troque os valores de l na tabela acima e veja o que ocorre.

Obs: Substitua valores de l. ( Que devem ser números positivos, pois não existem quadrados com medidas de lados negativos, certo ?)

Quais as conclusões que tiramos da tabela : (Pense um pouquinho)

- Como você colocou valores que desejou para a medida do lado l, podemos afirmar que é uma grandeza variável;
- A medida do perímetro (p ) também é uma grandeza variável, porém depende do valor do lado;
- Para cada valor que você deu para l,  apareceu um único valor para p; Certo????

 Daí, afirmamos que:

- A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida ldo lado;
- A lei que de associação ou a fórmula matemática da função é dada por : p = 4.l  (Como já vimos antes)
 

Considere as seguintes situações:

i)  O valor de Imposto (IPI, ICMS...) depende do valor do produto.
ii) O número de horas de sol de um dia depende do dia do ano.
iii) A distância que uma gota percorre quando cai folha de uma árvore grande depende do tempo.

Cada uma das situações acima envolve duas quantidades que são associadas a uma lei.  O valor de uma quantidade depende do valor da outra.  Se as quantidades são consideradas variáveis, então o valor de uma variável depende do valor da outra.  Quando o valor da variável independente (x) é conhecido, o valor da variável dependente (y) pode ser encontrado.  O conjunto de todos os valores possíveis para x é o domínio e o conjunto de todos os valores resultantes para y é a imagem.

Na primeira situação, o Imposto é a variável dependente e o valor pago pelo produto é a variável independente.

Identifique a variável independente e a variável dependente para cada situação. ( ii e iii )

 Verifique aqui sua resposta

Definição
    Uma função é uma correspondência entre elementos de dois conjuntos não-vazios que associa um valor no domínio a um valor único na imagem.  Numa relação funcional, há somente um valor para a variável dependente, y, associada a qualquer valor da variável independente, x.

Desafio 1:

1. Explique por que o domínio da área do quadrado é todo número real positivo.

2. Qual a imagem correspondente?

 

Exemplo 3

a. Explique se o volume de uma esfera  é ou não uma função do seu raio.

b. Qual o domínio da função Volume da esfera ?

c. Qual a imagem de V?

    O volume da esfera pode ser representado usando uma tabela de valores

 

Valor de r	V ( r )
0	0
0,5	0,5236
1,0	4,1888
1,5	14,137
2,0	33,51
2,5	65,45
3,0	113,1
3,5	179,59
4,0	268,8
4,5	381,70
5,0	523,60
5,5	696,91
6,0	904,78

Note que cada valor de r produz somente um valor de V.  O conjunto de todos os r é o domínio e o conjunto de todos os V é a imagem do Volume da esfera.

Para você fazer!!!!!!!!!!@@@@@@@@@@@@@@

Em cada um dos arranjos de números, a primeira coluna representa os valores de x  e a segunda coluna representa os valores de y.

Explique se cada arranjo representa ou não uma função.

    Respostas.: a) 

                       b) 

Examine o gráfico do volume de uma esfera.
        > with(plots):

Este gráfico ilustra que cada valor de r no domínio é associado a somente um valor de y na imagem.
Importante: O teste da linha vertical é uma forma rápida de dizer se um gráfico representa ou não uma função.  Se alguma linha vertical tem mais de um ponto em comum com o gráfico, então ele não representa uma função.  Se uma linha vertical intercepta o gráfico em somente um ponto, então o gráfico representa uma função.

 Explique se esta elipse é ou não o gráfico de uma função.
    A Elipse 

        > implicitplot(x^2/25+y^2/4 = 1,x=-6..6,y=-3..3);

1.2  Estudando Funções Crescentes e Decrescentes

Uma função é crescente em um intervalo se o seu gráfico sempre cresce à medida em que você o move da esquerda para a direita. É decrescente em um intervalo se o seu gráfico decresce à medida em que você o move da esquerda para a direita. É constante em um intervalo se o seu gráfico é horizontal.

 O gráfico do volume de uma esfera é uma função crescente.  O domínio desta função é dado por D = ] 0, 
 A imagem desta função será  I = ] 0, .

 Explique por que o domínio da função volume de uma esfera são todos os  números reais positivos maiores que zero..

        > plot(4/3*Pi*r^3,r=-4..4);

Resp.: Apesar de o gráfico apresentar valores negativos para r, uma esfera não pode existir para valores do raio menores ou iguais a 0; por isso, o domínio são todos os números reais positivos maiores que zero..

 Baseado no gráfico, descreva cada função como crescente, decrescente, constante ou uma combinação das três..

a) ( em vermelho ) b) ( em verde )

        > plot([-x^2,3*x-1],x=-4..4,y=-20..20);

c) ( em azul marinho ) b) ( em verde )

        > plot([sqrt(4-x^2),4],x=-2..2,y=-1..5,color=[cyan,green]);

Para os gráficos de a - d, dê o domínio e imagem, usando a notação de intervalos.

Resp.:

 

Para o gráfico c, determine o intervalo no qual o semi-círculo é:
a) decrescente
b) crescente

:

Examine a função abaixo
 

        > piecewise(x<=2,4*x-6,x<5,2,x>=5,-4*x+22);

        > plot(%,x=-3..10,y=-8..3);

Explique se a curva é ou não o gráfico de uma função.

Qual é o domínio?

     ( - ,  )

Qual é a imagem ?

     ( - , 2 )

Em qual intervalo é crescente ?

     ( - , 2 )

Em qual intervalo é decrescente ?

     ( 5,  )

Em qual intervalo é constante ?

     ( 2, 5 )
 

Aprofundando Seus Conhecimentos

Exemplo:

O custo em reais para contratar um pintor é determinado pelo custo da tinta e o custo do trabalho. O custo total C é uma função de duas variáveis independentes, o  número de latas de tinta g e o número de horas h que o pintor leva para pintar a  casa, e é dada por C(g, h) = 24g + 15h.
 

1. Qual é o custo total, C, quando o pintor usa 12 latas de tinta e gasta 18 horas pintando a casa? Qual é o custo total, C, quando o pintor usa 12 latas de tinta e gasta 18 horas pintando a casa?

Lembre-se : g ( latas de tinta ) e h ( horas de trabalho do pintor )

        > CT:=(g,h)->24*g+15*h;

Fazendo a substituição dos valores de g e h para saber o resultado.

        > CT(12,18);

2. A fórmula de Heron para achar a área de um triângulo quando os três lados são conhecidos é dada por A( Veja no quadro abaixo, onde s é o semi-perímetro..
 

    Lembre-se: a, b e c - medida dos lados

        > s:=(a,b,c)->(a+b+c)/2;

        > A:=(a,b,c)->sqrt((a+b+c)*((a+b+c)/2-a)*((a+b+c)/2-b)*((a+b+c)/2-c)/2);

a. Qual é a função do semi-perímetro?

Resp. 

b. Qual é a função da área?

Resp.: 

c. Ache o semi-perímetro do triângulo quando a = 5, b = 8 e c = 11. (use o MAPLE para os cálculos )

d. Entre com o valor calculado de s na função Área e determine a área do triângulo